3. Luchtwrijving

Luchtwrijving heeft alles te maken met stroming van lucht. Al in de 18^de eeuw zag Bernoulli dat tijdens stroming van lucht voldaan moest worden aan de wet van behoud van energie (hoewel Euler dit al eerder afleidde, is Bernoulli er met de eer vandoor gegaan). De wet is bekend geworden omdat hieruit voort vloeit dat wanneer de stroomsnelheid verhoogt wordt, de druk lager wordt: erg belangrijk in de luchtvaartindustrie en de snellere motorsporten.

Al de energie die er in gestopt wordt, komt er ook weer uit. Voor de luchtstroom geldt dan dat de energiedichtheid constant moet zijn. Om met Bernoulli te spreken: de kinetische energiedichtheid + de zwaartekrachtenergiedichtheid + de statische druk (p) is een constante.

½ ρ v² + ρ g h + p = constant

Omdat we niet de hoogte ingaan, blijft over:

½ ρ v² + p = constant

De stuwdruk (p) die voor de fietser aanwezig is dus gelijk aan ½ ρ v².

Stuwdruk = ½ ρ v²

De kracht die hiervoor verantwoordelijk is de druk maal het oppervlak waarop het druk uitoefent. Omdat een fietser vooruit fietst is het frontale oppervlak (A) belangrijk. Daarnaast is de weerstandscoefficient (cw) van belang: hoe kleiner de weerstand is van het (frontale) oppervlak, des te kleiner de luchtweerstand wordt. Een frontaal oppervlak zoals de vierkante voorkant van een bus heeft een grotere weerstandscoefficient dan dezelfde voorkant in de vorm van een ei. In de literatuur wordt gesproken over een frontaal oppervlak* cw waarde varierend van 0,75 voor een stadsfiets, 0,6 voor een rechtopzittende racefiets, tot waardes van minder dan 0,35 voor een tijdritfiets en zelfs minder dan 0,1 voor een ‘Human Powered Vehicle’ (Varna Diablo III, werelduurrecord: 86,77km/u).

In formulevorm:

F_{luchtwrijving} = stuwdruk * frontale oppervlak * wrijvingscoefficient = ½ ρ v² A Cw.

Hierin is ρ de dichtheid van lucht en v de snelheid van de stroom (dus afhankelijk van de snelheid van de fietser en van de lucht! Wanneer je windtegen hebt is de luchtwrijving veel groter dan bij windmee. Je zult bij windtegen een veel groter vermogen moeten genereren om met eenzelfde snelheid vooruit te komen. De windsnelheid is dan de combinatie van de rijsnelheid, v_r, en de windsnelheid, v_w.

Figure 1: windmee Figure 2: windtegen

Tja, helaas geen rechthoekige driehoek. Dus moeten we hier de moeilijke variant van de stelling van Pythagoras gebruiken, of te wel de cosinus regel. Als de v_w de werkelijke windsnelheid is, dan is v_p de psuedo-windsnelheid, oftewel de windsnelheid zoals de wielrenner hem voelt, en die is hier van toepassing. α_w is de hoek die de werkelijke windsnelheid met de renner maakt. α_p is de hoek tussen de psuedo windsnelheid en de renner. De cosinusregel gaan we toepassen op de driehoek ∆v_rv_pv_w’ gevormd door v_r, v_p en de evenwijdige lijn aan v_w, v_w’, die de driehoek sluit. Omdat we opzoek zijn naar v_p, is β de hoek die we moeten weten. Verder is γ = α_w omdat lijnstuk v_w’ evenwijdig is aan v_w. β = 180-γ = 180-α_w. Tenslotte is cos(180-α_w) = -cos α_w.

De cosinusregel voor v_p geldt:

v_p² = v_r² + v_w’² – 2v_rv_wcos β = v_r² + v_w² + 2v_rv_wcos α_w

De kracht van de luchtwrijving door de schijnbare of psuedo wind is dan F_{luchtwrijving pseudowind} = ½ ρ v_p² A C_w . Voor de fietser is echter alleen de component in zijn richting van belang. (Het schuin tegen de wind hangen kost nauwelijks moeite, dus dat laten we achterwege.). Dus

F_{luchtwrijving} = ½ ρ v_p² A C_w cos α_p

Ai! Hoe berekenen we nu α_p? Nog een keer de cosinusregel:

v_w² = v_p² + v_r² – 2v_pv_rcos α_p.

cos α_p = - (v_w²-v_p²-v_r²)/2v_pv_r

Kortom,

F_{luchtwrijving} = ½ ρ v_p² A C_w cos α_p

Met cos α_p = [- (v_w²-v_p²-v_r²)/2v_pv_r ]

Met v_p² = v_r² + v_w² + 2v_rv_wcos α_w of v_p = √( v_r² + v_w² + 2v_rv_wcos α_w )

Wat is nu de luchtdichtheid?

Dichtheid is gedefinieerd als de massa per volume eenheid.

ρ = m/V. Per volume eenheid is de massa afhankelijk van de temperatuur. Als de temperatuur verhoogt wordt dan verwijderen deeltjes zich van elkaar, dit hadden Boyle (begin 17^de eeuw) en Gay-Lassac (begin 19^de eeuw) ook al gezien. Daarom wordt de dichtheid van een stof lager als de temperatuur verhoogt wordt. Aan de hand van de volgende wetten kan de vergelijking voor de dichtheid worden afgeleid:

pV = nRT, de algemene gaswet met p de druk, V het volume, n de hoeveelheid in mol, T de temperatuur en R de gasconstante.

↔ p m/ρ = nRT (V= m/ρ)

↔ ρ = pm/nRT

↔ ρ = pM/RT (M=m/n, de molmassa van lucht)

Het wereldwijde gemiddelde voor de luchtdruk (P0) op zeenveau is 1013hPa. Toch is de luchtdruk niet constant: bij mooi weer kan de luchtdruk wel oplopen tot 1040hPa, bij extreem onstuimig en wisselvallig weer zakt de barometer tot waarden onder 980hPa. Verder is de luchtdruk op hoogte lager dan op zeeniveau: P(h) = P(0) * e ^(-Mgh/RT)

De luchtdichtheid (ρ0)op zeeniveau is ρ0 = P0/(R*T) * M.

en P0 = 101300 Pa (gemiddelde),

T = 273,15 K

H = 0m,

g = 9,81 m/s²

R = 8,31 JK^-1mol^-1

M = 0,0288 kg/mol

ρ0 = 1,29kg/m3. Dit is dus de luchtdichtheid op zeeniveau en bij 0ºC

Met behulp van deze formules kan de dichtheid bepaald worden op een bepaalde hoogte en een afwijkende luchtdruk op zeeniveau.

ρ = ρ0 * (1/T) * e^-ρ0*g*H/P0 met ρ0 = P0/(R*T) * M.

Kortom:

F_{luchtwrijving}= ½ ρ0 * (1/T) * e^-ρ0*g*H/P0 * v_p² *A * Cw cos α_p

Met v_p = √( v_r² + v_w² + 2v_rv_wcos α_w )